Что вносит погрешность в результаты тестирования

Оценка погрешностей результатов измерений

Оценка погрешностей результатов измерений

Погрешности измерений и их типы

Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т. д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т. е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность , где и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выражение , характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.

Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.

Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т. д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.

Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т. д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

2. Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙103 кг/м3, то абсолютная погрешность в этом случае равна кг/м3.

Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.

При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений функциональной величины используется формула

, (1)

где — приборные ошибки прямых измерений величины , — частные производные функции по переменной .

В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

.

Частные производные по переменным d и h будут равны

, .

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с имеет следующий вид

,

где и приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Для подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса), выведенный из следующих эмпирических положений.

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

2) при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

3) чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

, (2)

где — функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки , σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

, (3)

где — результат i-го измерения; — среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде .

Интервал значений от до , в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента, дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

. (4)

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ2, а существенно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов nраспределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n, и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Источник

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

п.1. Шкала измерительного прибора

Примеры шкал различных приборов:

Манометр – прибор для измерения давления, круговая шкала

Вольтметр – прибор для измерения напряжения, дуговая шкала

Индикатор громкости звука, линейная шкала

п.2. Цена деления

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: a = 5 c b = 10 c Между ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.

Цена деления: \begin \triangle=\frac\\ \triangle=\frac<10-5><24+1>=\frac15=0,2\ c \end

п.3. Виды измерений

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin m_0=\frac<99,8+101,2+100,3><3>=\frac<301,3><3>\approx 100,4\ \text <г>\end Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности \(m_0\) и измерения. \begin \triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\\ \triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\\ \triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 \end Находим среднее абсолютное отклонение: \begin \triangle_=\frac<0,6+0,8+0,1><3>=\frac<1,5><3>=0,5\ \text <(г)>\end Мы видим, что полученное значение \(\triangle_\) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin \triangle m=max\left\<\triangle_; d\right\>=max\left\<0,5; 0,05\right\>\ \text <(г)>\end Записываем результат: \begin m=m_0\pm\triangle m\\ m=(100,4\pm 0,5)\ \text <(г)>\end Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): \begin \delta_m=\frac<0,5><100,4>\cdot 100\text<%>\approx 0,050\text <%>\end

п.6. Представление результатов эксперимента

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin \delta_1=\frac<0,1><4,0>\cdot 100\text<%>=2,5\text<%>\\ \delta_2=\frac<0,03><4,0>\cdot 100\text<%>=0,75\text <%>\end Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: \(\delta_2\lt \delta_1\), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Источник

Оценка погрешностей измерений

Погрешность измерений физической величины – это отклонение измеренного значения величины от ее истинного значения.

Погрешности измерения обусловлены как ограниченной точностью измерительных приборов, так и влиянием случайных факторов – трения, вибрации здания или лабораторного стола, движения воздуха и т.д. Различают абсолютную погрешность и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность – это модуль отклонения измеренного значения физической величины от ее значения.

Абсолютную погрешность измерения величины А обозначают ΔА, а результат измерения записывают в виде:

Такая запись означает, что истинное значение измеряемой величины с большой вероятностью находится в интервале от

, .

Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения величины измеренному значению этой величины, выраженное в процентах.

Относительная погрешность измерения

.

Относительная погрешность характеризует точность измерения лучше, чем абсолютная.

В лабораторных работах относительная погрешность составляет 20-30%.

Оценка абсолютной погрешности прямых измерений

Прямым называется измерение, при котором значение измеряемой величины определяется непосредственно по шкале измерительных приборов.

Граница абсолютной погрешности прямого измерения равна сумме погрешности средств измерения (прибора, инструмента) Δ_пр и погрешности отсчета Δ_отсч:

Абсолютная погрешность средства измерения, т.е. прибора, зависит от качества изготовления прибора на заводе. В общем каждый электроизмерительный прибор имеет класс точности γ, по которому определяют погрешность этого прибора. В учебных целях применяются приборы, имеющие класс точности равным γ=4. Зная класс точности прибора и предел его измерения М, можно определить абсолютную погрешность прибора

.

Погрешность отсчета не превосходит половины цены деления прибора

Δ_отсч≤ ,

где с – цена деления его шкалы.

Оценка абсолютной погрешности косвенных измерений

Косвенным называется измерение, при котором значение измеряемому величины определяют по формулам, в которые входят значения физических величин, полученные с помощью прямых измерений.

Например, для измерения плотности вещества можно измерить массу о объем тела и воспользоваться формулой .

Округление результатов

Если ошибка округления больше абсолютной погрешности, округление уменьшает фактически достигнутую точность измерения, а если ошибка округления меньше абсолютной погрешности, последние цифры записи результата будут непосредственными. Поэтому округлять результаты измерений и вычислений надо так, чтобы последняя значащая цифра находилась в том же десятичном разряде, что и абсолютная погрешность измеряемой величины.

В лабораторных работах можно обычно ограничится, двумя значащимися цифрами.

Перечень лабораторных работ

Лабораторная работа №1

Тема: Определение плотности вещества

Цель работы: научиться определять плотность твердого тела.

Оборудование: весы с разновесами (рис.1), штангенциркуль (рис. 2), твердое тело.

Рис. 1. Рис. 2.

Описание работы

Опыт показывает, что массы тел, состоящих из одного и того же вещества, прямо пропорциональны объемам этих тел:

где m –масса, V – объем.

Коэффициент пропорциональности ρ называется плотностью вещества.

Плотность вещества характеризует зависимость массы тела от рода его вещества и измеряется массой вещества в единице объема:

Масса тела определяется взвешиванием. Объем тела правильной геометрической формы определяется обмером тела, объем жидкости – наполнение ею мензурки (градуированного сосуда). Последним приемом можно воспользоваться также и для определения твердого тела.

Порядок выполнения работы:

.

7. Запишите вывод, что вы измеряли и какой получен результат.

ВЫВОД:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Контрольные вопросы:

Лабораторная работа №2

Тема: Проверка закона Бойля-Мариотта

Цель работы: экспериментальная проверка закона Бойля-Мариотта

Оборудование: сильфон, манометр (рис 3)

Рис. 3

Описание работы

Экспериментальная установка для проверки закона Бойля-Мариотта показана на рисунке 3. Она состоит из сильфона, позволяющего изменить объем газа (воздуха), и металлического манометра. Сначала открывают оба крана манометра и с помощью винта сильфона растягивают или сжимают цилиндр так, чтобы объем воздуха в нем был равен 7,5 у.е.. Затем закрывают правый кран манометра и приступают к проверке закона Бойля-Мариотта, который имеет следующую формулировку: для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объем есть величина постоянная.

Несколько раз медленно изменяют объем воздуха в приборе и наблюдают за показаниями манометра.

Результаты измерений выражены:

давление – в атмосферах (1атм=1кг/см 2 =10 5 Па),

объем – в условных единицах.

Порядок выполнения работы:

2. Несколько раз медленно измените, объем воздуха в приборе и наблюдайте за показаниями манометра.

5. Постройте график зависимости давления от объема по результатам эксперимента.

ВЫВОД:___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Контрольные вопросы:

3. Почему вы уверены, что в лабораторной работе наблюдали именно изотермический процесс, а не какой-нибудь другой? Почему температура не менялась? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Лабораторная работа №3

Тема: Определение влажности воздуха

Цель работы: научиться определять влажность воздуха

Оборудование: психрометр (рис. 4), стакан с водой, психрометрическая таблица

Рис. 4

Описание работы

Психрометр (рис. 4) состоит из двух одинаковых термометров, один из которых обмотан тканью. Если водяной пар в воздухе не насыщен, то вода из ткани будет испаряться и показания «влажного» термометра будут меньше, чем сухого.

Чем интенсивнее испаряется вода (т.е. чем менее насыщен воздух водяным паром), тем ниже показания «влажного» термометра. По разнице показаний двух термометров можно измерять влажность воздуха. С этой целью составляются так называемые психрометрические таблицы, с помощью которых находят конкретные значения относительной влажности воздуха.

Порядок выполнения работы:

5. Запишите вывод, что вы измеряли и какой получен результат.

ВЫВОД:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Контрольные вопросы:

Лабораторная работа №4

Тема: Определение коэффициента поверхностного

Цель работы: экспериментально определить коэффициент поверхностного натяжения жидкости методом отрыва капель

Оборудование: весы учебные, разновес (можно мензурку), пипетка, штангенциркуль, стакан с водой, химический стакан (рис 5)

Рис.5

Описание работы

Расчеты показывают, что отрыв капли воды от пипетки происходит при выполнении равенства

где m – масса капли,

d – внутренний диаметр пипетки,

g – ускорение свободного падения.

Отсюда .

Для повышения точности измеряют массу нескольких капель: М= m·n, где n – число капель. Тогда расчетная формула принимает вид:

.

Порядок выполнения работы:

.

7. Запишите вывод: что вы измеряли и какой получен результат.

ВЫВОД:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Контрольные вопросы:

Лабораторная работа №5

Тема: Определение удельного сопротивления вещества проводника

Цель работы: научиться опытным путем вычислять удельное сопротивление вещества проводника (резистора)

Оборудование: источник тока, амперметр, вольтметр, ключ, резистор, соединительные провода

Описание работы

Если резистор представляет собой длинный однородный проводник постоянного сечения, то его сопротивление R прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади поперечного сечения S:

.

Коэффициент пропорциональности ρ (не путать с плотностью материала проводника!), характеризующий материал резистора называется удельным электрическим сопротивлением материала.

В цепях постоянного тока часто используется переменное сопротивление. Простейшим устройством такого типа является реостат, в котором перемещающийся ползунок позволяет пропускать ток по различному числу витков провода, намотанного на цилиндр.

Порядок выполнения работы:

1. Соберите электрическую цепь по схеме на рис.6.

Рис. 6.

2. Измерьте силу тока I и напряжение U.

3. Вычислите сопротивление R по формуле:

.

4. Вычислите площадь поперечного сечения провода по формуле:

5. Вычислите удельное сопротивление материала ρ по формуле:

6. Сравните полученный результат с табличным значением удельного сопротивления вещества проводника, и вычислите относительную погрешность по формуле:

.

ВЫВОД:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Контрольные вопросы:

1. Почему удельное сопротивление проводника зависит от рода материала его?

3. Зависит ли удельное сопротивление от температуры? _________________________

Лабораторная работа №6

Тема: Определение ЭДС и внутреннего сопротивления источника электрической энергии

Цель работы: экспериментально определить основные характеристики источника постоянного тока: ЭДС и внутреннее сопротивление

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор.

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник