Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно к, то выполнено 100a + 10b + c = ka + kb + kc.
а) Если частное равно 12, то 100a + 10b + c = 12a + 12b + 12c; 88а = 2b + 11c, что верно, например, при b = 0, a = 1, c = 8: частное числа 108 и суммы его цифр равно 12.
б) Если частное равно 87, то 100a + 10b + c = 87a + 87b + 87c. Получаем: a
откуда Это противоречит условию Значит, наименьшее натуральное значение частного трёхзначного числа и суммы его цифр равно 11.
Ответ : а) да; б) нет; в) 11.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
2
Верно получен один из следующих результатов:
— обоснованное решение п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е;
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Решение. а) Да, может. Например, 410 : (4 + 1 + 0) = 82.
Рассмотрим трёхзначное число Имеем:
Полученному равенству удовлетворяют цифры x = 4, y = 1, z = 0.
б) Предположим, что для трёхзначного числа выполнено равенство
то есть 17x = 73y + 82z.
Самая большая цифра — это 9, поэтому
Отсюда видно, что возможны лишь два случая: z = 0 или z = 1.
1. Если z = 0, то из (5) получаем 17x = 73y. Значит, 17x делится на простое число 73. Однако
ни 17, ни x (будучи цифрой) на 73 не делятся. Противоречие.
2. Если z = 1, то из (5) получаем 17x = 73y + 82, что не превосходит 153. Значит, y = 0
или y = 1. В этих случаях имеем соответственно 17x = 82 и 17x = 155; оба равенства
невозможны, так как их правые части не делятся на 17.
Полученные противоречия показывают, что при делении трёхзначного числа на сумму его
цифр не может получиться 83.
в) Пусть снова x, y, z — цифры. Ищем наибольшее натуральное n, такое, что
Перепишем это равенство следующим образом:
и так как x не превосходит 9, получим:
По условию наше трёхзначное число не делится на 100, то есть y и z не равны нулю одновременно; иными словами, выполнено неравенство Тогда для правой части неравенства имеем:
Итак, справедлива оценка Равенство имеет место для числа 910:
Этот пример найти нетрудно: при x = 9, y = 1 и z = 0 все неравенства в и превращаются в равенства.
Итак, максимальное натуральное число, которое может получиться при делении трёхзначного числа на сумму его цифр, равно 91.
Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 89?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 86?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Пусть данное число равно где и — цифры сотен, десятков и единиц соответственно.
а) Если частное этого числа и суммы его цифр равно то выполнено равенство Можно взять, например, число
б) Если частное этого числа и суммы его цифр равно то выполнено равенство Равенства и невозможны, поскольку не делится на или Значит, в числе нет нулей, но тогда
в) Пусть — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного и суммы его цифр. Тогда
Учитывая, что получаем:
откуда
Частное числа и суммы его цифр равно Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного и суммы его цифр равно
Ответ : а) да; б) нет; в) 91.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.
4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.
3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.
2
Верно получен один из следующих результатов:
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Пусть данное число равно 100a + 10b + c, где a, b и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено
а) Если частное равно то что верно, например, при — частное числа и суммы его цифр равно
б) Если частное равно то Так как a
Учитывая, что получаем:
откуда
Частное числа и суммы его цифр равно Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного и суммы его цифр равно
Ответ : а) да; б) нет; в) 91.
В пункте а) можно решить без подбора, точной методикой:
100a+10b+c=90a+90b+90c, тогда 10a-80b=89c и 10(a-8b)=89c.
Число 89*с не делится нацело на 10, так как с натуральное число от 1 до 9 или 0, число a-8b является целым, так как числа a и b натуральные. Значит, a-8b=c=0, откуда a-8b=0. Тогда так как a
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.
а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?
б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.
в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?
а) Каждая из двух девочек могла выиграть оба раза у всех троих мальчиков, получив в сумме 6 очков. Сыграв две партии друг с другом, девочки распределили между собой ещё 2 очка. Всего очков.
б) Играя по две партии каждый с каждым, десять детей играют всего партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 90 очков.
в) Всего детей было играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой партий и разыграли очков. Из них у мальчиков три четверти очков, а у девочек — одна четверть, то есть у девочек очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум очков, а играя между собой, девочки распределили очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно Тем самым, имеем: Следовательно, девочек не могло быть больше одной.
Если девочка была одна, то мальчиков было семеро. Они сыграли 56 партий и разыграли 56 очков. Девочка набрала 14 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 42 очка.
Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.
Приведём похожее решение.
а) Всего девочки играют 2 партии между собой и 12 партий против мальчиков (по 6 каждая). Поэтому максимальное суммарное число очков, которые они могут набрать, равно 2+12=14.
б) Если участников всего 10, то каждый играет с 9-ю другими участниками по два раза, значит, всего происходит 18 туров по 5 партий в каждом. В 90 партиях разыгрывается 90 очков, поэтому ответ 90.
в) Пусть девочек а мальчиков В партиях между собой девочки набрали очков, а мальчики в партиях между собой набрали очков. Всего состоялось партий. Значит, партий между мальчиками и девочками состоялось Пусть девочки набрали в них x очков. Тогда получаем уравнение: откуда или Ясно, что отсюда то есть или Понятно, что 0 — посторонний корень. Если девочка была одна, то мальчиков было 7, в случае, когда девочка выиграла у всех мальчиков по два раза, она набрала 14 очков. При этом мальчики сыграли между собой 42 партии и набрали 42 очка, например, сыграли все эти партии вничью или любым другим образом.
Делить столбиком проще, чем высчитывать в уме. Этот способ наглядный, помогает держать во внимании каждый шаг и запомнить алгоритм, который впоследствии будет срабатывать автоматически.
Рассмотрим пример деления трехзначного числа на однозначное 322 : 7. Для начала определимся с терминами:
Шаг 1. Слева размещаем делимое 322, справа делитель 7, между ставим уголок, а частное посчитаем и запишем под делителем.
Шаг 2. Смотрим на делимое слева направо и находим ту часть, которая больше делителя. 3, 32 или 322? Нам подходит 32. Теперь нужно определить сколько раз наш делитель 7 содержится в числе 32. Похоже, что четыре раза.
Проверяем: 4 × 7 = 28, а 28
Шаг 3. Остаток равен 4. Для продолжения решения его нужно увеличить. Мы сделаем это за счет следующей цифры делимого. Приписываем к четверке оставшуюся двойку и продолжаем размышлять.
Шаг 4. Сколько раз делитель 7 содержится в числе 42? Кажется, шесть раз. Проверяем: 7 × 6 = 42, 42 = 42 — все верно. Записываем полученное число к четверке справа — это вторая цифра частного. Делаем вычитание в столбик 42 из 42, в остатке получаем 0. Значит, числа разделились нацело.
Мы закончили решать пример и в результате получили целое число 46.
Как выглядит деление в столбик с остатком
Это такое же деление, только в результате получается неровное число, как получилось в примере выше.
Примеры на деление в столбик
Давайте закрепим знания на практике. Для этого разделите столбиком примеры ниже, а после проверьте полученные цифры — чур, не подглядывать!
Это противоречит условию 
Значит, наименьшее натуральное значение частного трёхзначного числа и суммы его цифр равно 11.
Имеем:
выполнено равенство
Тогда для правой части неравенства имеем:
Равенство имеет место для числа 910:
где 
и 
— цифры сотен, десятков и единиц соответственно.
то выполнено равенство 
Можно взять, например, число 
то выполнено равенство 
Равенства 
и 
невозможны, поскольку 
не делится на 
или 
Значит, в числе нет нулей, но тогда 
— наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного 
и суммы его цифр. Тогда
получаем:
и суммы его цифр равно 
Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного 
то 
что верно, например, при 
— частное числа 
и суммы его цифр равно 
то 
Так как a
очков.
партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 90 очков.
играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой 
партий и разыграли 
очков. Из них у мальчиков три четверти очков, а у девочек — одна четверть, то есть у девочек 
очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум 
очков, а играя между собой, девочки распределили 
очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно 
Тем самым, имеем: 
Следовательно, девочек не могло быть больше одной.
а мальчиков 
В партиях между собой девочки набрали 
очков, а мальчики в партиях между собой набрали 
очков. Всего состоялось 
Пусть девочки набрали в них x очков. Тогда получаем уравнение: 
откуда 
или 
Ясно, что 
отсюда 
то есть 
или 
Понятно, что 0 — посторонний корень. Если девочка была одна, то мальчиков было 7, в случае, когда девочка выиграла у всех мальчиков по два раза, она набрала 14 очков. При этом мальчики сыграли между собой 42 партии и набрали 42 очка, например, сыграли все эти партии вничью или любым другим образом.